标度空间里的牛顿动力学

标度相对论:http://www.swarma.org/swarma/detail.php?id=13962

首先我有一个疑惑:Nottale老爷子为啥把标度对应为速度呢?我觉得某些情况下把标度对应为时间更好吧~  想象一下,一个远处的小车不在你视野中心。(1)。假设你不动:小车以匀速直线运动远离你视野中心,小车速度(看成内禀属性或者自变量)X 时间(看成外部的操作,类似函数映射) = 在你视野里的位移(得到函数值,这里的位移是在你视野里移动的比例)。 (2)。假设车不动,你向你视野中心的地点走去,这时小车在你视野里也会同样的发生位移(也就是小车在你视野里的位置变了)! 仔细考察这个过程,会发现你的走动(或者标度的改变)是一种函数操作, 整个空间的标度(分形)特征是某种内秉属性,最后小车在视野里位移是结果。
  所以为啥不认为 log(S) (S是标度)对应时间,而分形维度对应速度呢?
这样想后,Jake这贴http://www.swarma.org/swarma/detail.php?id=18452里的问题“复杂科学里的速度,加速度,力是什么?有没有类似牛顿力学的普世原理”就好想了。
我以我最熟悉的原子力显微镜(AFM)测样品表面形貌为例。
我们一般是这么做的: 首先,测得样品在不同尺度(比如10nm, 100nm, 1000nm…)下的topography。因为topography图的像素是确定的,当尺度越大时,一个像素对应的区域就越大。  然后,在每个尺度下,算功率谱密度(PSD)函数。为了简单,我举一维为例,具体算法是:先把测得的topography函数Z(x) (这里x是水平方向的位置,Z是测得的高度)取自相关(autocorrelation)函数, 然后再对自相关函数做傅里叶变换, 得到的就是PSD(d), 这里d是波长,是频率的倒数,而频率则是傅立叶变换的结果(x傅立叶变换成频率)。  然后把log(PSD) vs log(d) 画出来,通常就能得到一条直线,直线的斜率就是5-2D,D为样品表面的分形维度。 通常,不同尺度下的各条log(PSD)-log(d) 曲线是可以对接(重合)的,而且斜率一样。
这么做背后的模型是:假设样品表面可以用weierstrass mandelbrot(WM)函数描述, WM是类似傅立叶级数那样的级数,由很多
cos项累加而成。对WM函数,我们求自相关函数然后傅里叶变换后可以得到log(PSD) ~ log(d)^(5-2D)。所以斜率就是5-2D。
图片来自https://www.youtube.com/watch?v=LmlZNNMvh_w。 这个视频也讲解了如何计算PSD.
现在让我们回到之前的话题:这个标度空间里的速度,质量和力是什么?
这里,我把波长d看作某种标度。
根据我的假设,log(d)是时间,如果把log(PSD)看成位移(或者正比于位移)的话,那么log(PSD)-log(d) 直线的斜率就是速度! 直线表明在标度空间中 体系在做匀速直线运动!
这是什么呢?
牛一!
让我们再来看牛二:
一般来说,这个log(PSD)-log(d)曲线会在log(d)的两端偏离直线。 在log(d)的低端偏离的原因是这时候原子力显微镜的tip大小已经和d差不多了,测量本身会对被测出的topography产生影响。  我觉得可以把这个测量影响看成一种力的作用! 力产生加速度,加速度使log(PSD)-log(d)偏离匀速直线运动!     而在log(d)高端偏离的原因是d已经和观测尺度差不多了。如果把这也看成另一种力的话,那么这种力就是一种边界效应!
哪牛三呢?以及怎么研究标度空间中的力呢?
我的有两个初步想法:
1. 把tip增加的比较大。这样可以用非常小的tip去测这个大tip的表面形貌。然后用大tip测样品的表面形貌。这里面肯定会涉及不少卷积和傅里叶变换的东西,肯定很有趣,说不定能验证牛三和其他动力学性质。
2. 让样品在不同尺度以不同机制生长表面。 比如先后用几种不同的化学沉积(CVD)方式和化学物质生长表面,如先用大颗粒沉积,再用小微粒。这样log(PSD)-log(d)曲线应该在不同的区域有不同的斜率。在不同区域的交界处,正好就是不同体系相互作用的地方! 而这种相互作用和影响就是“力”!
在标度空间的牛顿三大定律建立后,再去研究其他动力学性质如机械能守恒,动量定理,乃至发展标度空间的分析力学,找哈密顿量等。。。
最后,提出一个想法:为什么现在的复杂性科学仍旧处于比较原始的阶段,怎么才能有突破? 一个例子是地震。 复杂性科学似乎只能找到地震的许多标度律,但这些标度律只是统计意义上的,类似自然界中广泛存在的高斯分布一样,无法用来预测地震!包括即使按照我上面说的,找到了标度空间的动力学,在标度空间能够预测了,返回现实空间还是不给力。    原因在于什么呢?  我认为原因是从现实空间到标度空间已经损失了不少信息!
还是看我举的PSD的例子。傅里叶变换没事,信息没少,可以原样变回去。但自相关函数出问题了。这变不回去的! 怎么解决呢??? 能找到一个办法保持信息不丢失么???
我也没有点子。 但我能想起物理上的几个例子,处理这种变换信息不丢失能够原样变回去的问题:
1. 当然是傅里叶变换了。也许拉普拉斯变换小波变换也能?(不熟悉)。但在PSD例子中,傅里叶变换已经用过了。所以我觉得全靠傅里叶不太靠谱。
2. 电动力学中的边界问题。 通过边界的电磁场的量逆推电磁场在整个空间的分布!但这个例子边界和空间中都是电磁场, 本质是一样的。 而在PSD问题中,是从topography变成一个抽象的东西,本质发生了变化。
3. 最有可能的:光学里的全息技术!! http://en.wikipedia.org/wiki/Holography
我还记得大物实验里,用两束相干光,一束照在一个有些透光的物品上,物品散光照在屏幕上,另一束参照光直接照射屏幕。屏幕是感光物质做的, 其透射率会在曝光的时候改变,透射率正比于光强。
全息技术的关键在于, 光是电磁波,其电场震荡可以用“复数”描述,引入相位。 然后相干光在屏幕上复数叠加, 最后的光强是这两个复数之和的绝对值。 (非常类似量子力学双缝实验中波函数的复数化技巧!)。 曝光好处理好胶片后, 再用参照光照射胶片, 就能在胶片后看到物品的三维虚像!
全息的一个惊叹之处就在于这个胶片的每个小部分都含有这个物品的全部信息!
现在,怎么类比全息技术,把topography投影到新类型的“PSD”上呢? 更广的,怎么把实空间全息地投到标度空间里?  这里,参考的相干光怎么找? 相位怎么加? 。。。 问题还很多,但都很有趣!

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